"El álgebra es muy generosa. Siempre nos dice más de lo que le preguntamos."
Jean Le Rond d'Alembert
16 de julio de 2010
Cita del Viernes
Jean Le Rond d'Alembert
4 de julio de 2010
El número de Graham
Algunas personas al leer el nombre de este blog ya sabrán qué quiere decir ese $$g_{64}$$, pero seguramente muchas otras no lo sepan.
En la década de los 70 el matemático Ronald Graham estableció una cota superior para la solución de un problema de combinatoria conocido como Teorema de Ramsey. Esta cota superior es lo que se conoce como el número de Graham, y es una cantidad tan astronómicamente grande que en 1980 fue reconocida por el libro Guinness de los records como el mayor número jamás utilizado en una demostración matemática. Se trata de un número realmente inimaginable.
Si pensamos en la cantidad de granos de arena que hay en una playa, el número de Graham es mayor. Si consideramos la cantidad de granos de arena que hay en todas las playas de la Tierra, el número de Graham es mayor. El número de Graham es mayor que la cantidad de granos de arena que caben en todo el planeta Tierra, de hecho es mayor que el número de átomos que conforman la Tierra, y, por último, es mayor que el número de volúmenes de Plank que caben en el Universo.
La notación estándar para exponenciación no es suficiente para representar el número de Graham. En lugar de eso, se emplea la siguiente notación, conocida como notación de Knuth:
$$a \uparrow b := a^b $$
$$a \uparrow \uparrow b := ^ba = \underbrace{a^{a^{a^{...^a}}}}_{b veces}$$
Por ejemplo
$$2\uparrow \uparrow 3 = 2^{2^2} = 16$$
o también
$$5 \uparrow \uparrow 3 = 5^{5^5} = 5 \uparrow 5^5 = 5^{3125}$$
cuya expansión decimal podéis ver aquí.
En general la notación $$a\uparrow^n b$$ significa que debemos escribir $$n$$ flechas entre $$a$$ y $$b$$, y recursivamente definimos
$$a \uparrow^n b = a \uparrow (a \uparrow^{n-1} b)$$
Por ejemplo
$$2 \uparrow \uparrow \uparrow 3 = 2 \uparrow (2 \uparrow \uparrow 3) = 2 \uparrow {2^{2^2}} = 2^{16} = 25536$$
y $$2 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3$$ es un número de casi 20 000 dígitos.
Pues bien, visto esto, el número de Graham es el término $$G = g_{64}$$ de una serie de números definidos como
$$g_1 = 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3$$
$$g_n = 3 \uparrow^{g_{n-1}} 3$$
Es imposible para la mente humana llegar a imaginar la magnitud de $$g_{64}$$ , sobre todo teniendo en cuenta que el propio $$g_1$$ ¡ya es mayor que la cantidad de volúmenes de Plank en el universo!, ni siquiera tenemos espacio en el Universo para escribir esas $$g_1$$ flechas expandidas en la definición de $$g_2$$, y después de este quedan otros 63 términos de una sucesión creciente.
Y de propina, una viñeta de xkcd que hace mención al número de Graham
En la década de los 70 el matemático Ronald Graham estableció una cota superior para la solución de un problema de combinatoria conocido como Teorema de Ramsey. Esta cota superior es lo que se conoce como el número de Graham, y es una cantidad tan astronómicamente grande que en 1980 fue reconocida por el libro Guinness de los records como el mayor número jamás utilizado en una demostración matemática. Se trata de un número realmente inimaginable.
Si pensamos en la cantidad de granos de arena que hay en una playa, el número de Graham es mayor. Si consideramos la cantidad de granos de arena que hay en todas las playas de la Tierra, el número de Graham es mayor. El número de Graham es mayor que la cantidad de granos de arena que caben en todo el planeta Tierra, de hecho es mayor que el número de átomos que conforman la Tierra, y, por último, es mayor que el número de volúmenes de Plank que caben en el Universo.
La notación estándar para exponenciación no es suficiente para representar el número de Graham. En lugar de eso, se emplea la siguiente notación, conocida como notación de Knuth:
$$a \uparrow b := a^b $$
$$a \uparrow \uparrow b := ^ba = \underbrace{a^{a^{a^{...^a}}}}_{b veces}$$
Por ejemplo
$$2\uparrow \uparrow 3 = 2^{2^2} = 16$$
o también
$$5 \uparrow \uparrow 3 = 5^{5^5} = 5 \uparrow 5^5 = 5^{3125}$$
cuya expansión decimal podéis ver aquí.
En general la notación $$a\uparrow^n b$$ significa que debemos escribir $$n$$ flechas entre $$a$$ y $$b$$, y recursivamente definimos
$$a \uparrow^n b = a \uparrow (a \uparrow^{n-1} b)$$
Por ejemplo
$$2 \uparrow \uparrow \uparrow 3 = 2 \uparrow (2 \uparrow \uparrow 3) = 2 \uparrow {2^{2^2}} = 2^{16} = 25536$$
y $$2 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3$$ es un número de casi 20 000 dígitos.
Pues bien, visto esto, el número de Graham es el término $$G = g_{64}$$ de una serie de números definidos como
$$g_1 = 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3$$
$$g_n = 3 \uparrow^{g_{n-1}} 3$$
Es imposible para la mente humana llegar a imaginar la magnitud de $$g_{64}$$ , sobre todo teniendo en cuenta que el propio $$g_1$$ ¡ya es mayor que la cantidad de volúmenes de Plank en el universo!, ni siquiera tenemos espacio en el Universo para escribir esas $$g_1$$ flechas expandidas en la definición de $$g_2$$, y después de este quedan otros 63 términos de una sucesión creciente.
Y de propina, una viñeta de xkcd que hace mención al número de Graham
3 de julio de 2010
Jugar al billar en un toro
Siempre se dan los mismos tópicos a la hora de jugar a juegos de mesa: un plano limitado, distancias euclídeas...
Jeff Weeks propone una forma diferente de abordar este tipo de juegos. ¿Cómo golpearías la bola blanca jugando al billar en un toro?¿Y en una botella de Klein?
Aquí os dejo un enlace para descargar su programa y comprobarlo vosotros mismos:
Torus Games
También recomiendo las otras descargar de su página para el que busque más matemáticas divulgativas.
Jeff Weeks propone una forma diferente de abordar este tipo de juegos. ¿Cómo golpearías la bola blanca jugando al billar en un toro?¿Y en una botella de Klein?
Aquí os dejo un enlace para descargar su programa y comprobarlo vosotros mismos:
Torus Games
También recomiendo las otras descargar de su página para el que busque más matemáticas divulgativas.
Aritmética con números romanos
¿Podéis resolver 30 operaciones de aritmética sencilla en 4 minutos? ¿y en números romanos? En este sitio podéis intentarlo. Cuesta un poco más, ¿eh?
Vía: FUCKYEAHMATH
Vía: FUCKYEAHMATH
2 de julio de 2010
Cita del Viernes
"Un matemático que no es también algo de poeta nunca será un matemático completo."
Karl Weierstrass
Bonita cita del matemático alemán en la que se vuelve a considerar al matemático como un artista (razón no le falta a pesar de lo que muchos digan). Claro que también podría estar refiriéndose a que un buen matemático debe ser capaz de expresarse bien para transmitir sus conocimientos. ¿Vosotros qué pensáis?
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